3. Решите неравенство: a) $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} < 0;$ b) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 4x - 12} > 0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите неравенство: a) $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} < 0;$ b) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 4x - 12} > 0$$ Фото задания

Accepted Answer

а) $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} < 0$

Найдем корни числителя: $ x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 $ и $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $.
Найдем корень знаменателя: $ x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 $.
Разместим корни на числовой прямой: -2, 2, 3.
Определим знаки интервалов:

При $ x < -2 $ (например, x = -3): $\frac{(-3 - 2)(-3 + 2)}{-3 - 3} = \frac{(-5)(-5)}{-6} = \frac{25}{-6} < 0$ — минус.
При $ -2 < x < 2 $ (например, x = 0): $\frac{(0 - 2)(0 + 2)}{0 - 3} = \frac{(-2)(2)}{-3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} > 0$ — плюс.
При $ 2 < x < 3 $ (например, x = 2.5): $\frac{(2.5 - 2)(2.5 + 2)}{2.5 - 3} = \frac{(0.5)(4.5)}{-0.5} = -9 < 0$ — минус.
При $ x > 3 $ (например, x = 4): $\frac{(4 - 2)(4 + 2)}{4 - 3} = \frac{(2)(6)}{1} = 12 > 0$ — плюс.

Ответ а): $ x ∈ (-∞; -2) ∪ (2; 3) $.

б) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 4x - 12} > 0$

Разложим числитель на множители: $ x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $. Корень числителя: $ x = 5 $ (корень кратности 2).
Разложим знаменатель на множители, найдя его корни: $ x^2 - 4x - 12 = 0 $. Используем дискриминант: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 $. $ x = \frac{4 ± √64}{2} = \frac{4 ± 8}{2} $. Корни знаменателя: $ x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6 $ и $ x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2 $.
Отметим корни на числовой прямой: -2, 5, 6.
Определим знаки интервалов:

При $ x < -2 $ (например, x = -3): $\frac{(-3 - 5)^2}{-3^2 - 4(-3) - 12} = \frac{(-8)^2}{9 + 12 - 12} = \frac{64}{9} > 0$ — плюс.
При $ -2 < x < 5 $ (например, x = 0): $\frac{(0 - 5)^2}{0^2 - 4(0) - 12} = \frac{25}{-12} < 0$ — минус.
При $ 5 < x < 6 $ (например, x = 5.5): $\frac{(5.5 - 5)^2}{5.5^2 - 4(5.5) - 12} = \frac{(0.5)^2}{30.25 - 22 - 12} = \frac{0.25}{-3.75} < 0$ — минус.
При $ x > 6 $ (например, x = 7): $\frac{(7 - 5)^2}{7^2 - 4(7) - 12} = \frac{2^2}{49 - 28 - 12} = \frac{4}{9} > 0$ — плюс.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Учитываем, что корень $ x = 5 $ (числитель) является корнем кратности 2, поэтому знак на интервалах, примыкающих к нему, не меняется.

Ответ б): $ x ∈ (-∞; -2) ∪ (6; +∞) $.

3. Решите неравенство: a) \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} < 0;\) b) \(\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 4x - 12} > 0\)