3. Решите неравенство: а) \(\log_4(x^2-x-2)<1\); б) \(\log_{1/3}(3x+1)\ge -1\).

а)

1. Область определения: аргумент логарифма должен быть положительным: \(x^2-x-2>0\), то есть \((x-2)(x+1)>0\). Поэтому \(x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)\).

2. Так как основание \(4>1\), логарифмическая функция возрастает. Значит, неравенство равносильно \(x^2-x-2<4\), или \(x^2-x-6<0\).

3. Разложим на множители: \((x-3)(x+2)<0\), откуда \(x\in(-2,3)\).

4. Пересекаем это множество с областью определения: \(x\in(-2,-1)\cup(2,3)\).

б)

1. Область определения: \(3x+1>0\), поэтому \(x>-\frac13\).

2. Основание \(\frac13\) находится между 0 и 1, поэтому логарифмическая функция убывает. При переходе к аргументам знак неравенства меняется: \(3x+1\le \left(\frac13\right)^{-1}=3\).

3. Решаем полученное неравенство: \(3x\le2\), следовательно, \(x\le\frac23\). Учитываем область определения.

Ответ: а) \(x\in(-2,-1)\cup(2,3)\); б) \(x\in\left(-\frac13,\frac23\right]\).