3. Решите с помощью графиков систему уравнений: 1) a) y = x, y=2-x; 2) a) x + y = 0, x + 2y = 2; 6) y = 2x, y=6-x; 6) 2x - y = -1, x + y = -2.

Привет! Давай разберемся с этими системами уравнений графически. Графический метод — это когда мы строим графики каждой линии, а потом ищем точку, где они пересекаются. Эта точка и будет решением системы.

1) Система а)

• \[ \begin{cases} y = x \\ y = 2 - x \end{cases} \]
• Шаг 1: Строим график первой линии.\[ y = x \]Это прямая, которая проходит через начало координат (0;0) под углом 45 градусов.
• Шаг 2: Строим график второй линии.\[ y = 2 - x \]Чтобы построить эту прямую, возьмем две точки:
• Если $$x = 0$$, то $$y = 2 - 0 = 2$$. Точка (0; 2).
• Если $$y = 0$$, то $$0 = 2 - x$$, значит $$x = 2$$. Точка (2; 0).
• Шаг 3: Находим точку пересечения.
  
  
• Графики пересекаются в точке (1; 1).

Ответ: (1; 1)

2) Система а)

• \[ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + 2y = 2 \end{cases} \]
• Шаг 1: Преобразуем уравнения к виду $$y = kx + b$$.
• Из первого уравнения: $$y = -x$$.
• Из второго уравнения: $$2y = 2 - x$$, значит $$y = 1 - \frac{1}{2}x$$.
• Шаг 2: Строим графики.
• \[ y = -x \]Это прямая, проходящая через начало координат (0;0) с угловым коэффициентом -1.
• \[ y = 1 - \frac{1}{2}x \]Чтобы построить эту прямую, возьмем две точки:
• Если $$x = 0$$, то $$y = 1 - 0 = 1$$. Точка (0; 1).
• Если $$y = 0$$, то $$0 = 1 - \frac{1}{2}x$$, значит $$\frac{1}{2}x = 1$$, $$x = 2$$. Точка (2; 0).
• Шаг 3: Находим точку пересечения.
  
  
• Графики пересекаются в точке (-2; 2).

Ответ: (-2; 2)

3) Система б)

• \[ \begin{cases} y = 2x \\ y = 6 - x \end{cases} \]
• Шаг 1: Строим график первой линии.\[ y = 2x \]Это прямая, проходящая через начало координат (0;0) с угловым коэффициентом 2.
• Шаг 2: Строим график второй линии.\[ y = 6 - x \]Чтобы построить эту прямую, возьмем две точки:
• Если $$x = 0$$, то $$y = 6 - 0 = 6$$. Точка (0; 6).
• Если $$y = 0$$, то $$0 = 6 - x$$, значит $$x = 6$$. Точка (6; 0).
• Шаг 3: Находим точку пересечения.
  
  
• Графики пересекаются в точке (2; 4).

Ответ: (2; 4)

4) Система б)

• \[ \begin{cases} 2x - y = -1 \\ x + y = -2 \end{cases} \]
• Шаг 1: Преобразуем уравнения к виду $$y = kx + b$$.
• Из первого уравнения: $$-y = -1 - 2x$$, значит $$y = 1 + 2x$$.
• Из второго уравнения: $$y = -2 - x$$.
• Шаг 2: Строим графики.
• \[ y = 1 + 2x \]Чтобы построить эту прямую, возьмем две точки:
• Если $$x = 0$$, то $$y = 1 + 0 = 1$$. Точка (0; 1).
• Если $$y = 0$$, то $$0 = 1 + 2x$$, значит $$2x = -1$$, $$x = -0.5$$. Точка (-0.5; 0).
• \[ y = -2 - x \]Чтобы построить эту прямую, возьмем две точки:
• Если $$x = 0$$, то $$y = -2 - 0 = -2$$. Точка (0; -2).
• Если $$y = 0$$, то $$0 = -2 - x$$, значит $$x = -2$$. Точка (-2; 0).
• Шаг 3: Находим точку пересечения.
  
  
• Графики пересекаются в точке (-1; -1).

Ответ: (-1; -1)