3. Решите систему уравнений: 1) { x-1/3 + y-1/3 = 2, x-1/2 - y-1/6 = 5/3; 2) { 2a+1/7 + 2b+2/5 = 1/5, 3a-2/2 + b+4/4 = 4.

Решение системы уравнений:

1)

Данная система:

\(\begin{cases}\) \(\frac{x-1}{3}\) + \(\frac{y-1}{3}\) = 2 \\ \(\frac{x-1}{2}\) - \(\frac{y-1}{6}\) = \(\frac{5}{3}\) \(\end{cases}\)

Упростим первое уравнение:

\(\begin{align*}\) \(\frac{x-1+y-1}{3}\) &= 2 \\ x+y-2 &= 6 \\ x+y &= 8 \(\end{align*}\)

Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

\(\begin{align*}\) 6 \(\left\)\(\frac{x-1}{2} - \frac{y-1}{6} \right\) &= 6 \(\cdot\) \(\frac{5}{3}\) \\ 3(x-1) - (y-1) &= 10 \\ 3x - 3 - y + 1 &= 10 \\ 3x - y &= 12
end{align*}

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

\(\begin{cases}\) x+y = 8 \\ 3x-y = 12 \(\end{cases}\)

Сложим уравнения:

\(\begin{align*}\) (x+y) + (3x-y) &= 8+12 \\ 4x &= 20 \\ x &= 5
end{align*}

Подставим \( x=5 \) в первое уравнение:

\(\begin{align*}\) 5+y &= 8 \\ y &= 3
end{align*}

2)

Данная система:

\(\begin{cases}\) \(\frac{2a+1}{7}\) + \(\frac{2b+2}{5}\) = \(\frac{1}{5}\) \\ \(\frac{3a-2}{2}\) + \(\frac{b+4}{4}\) = 4
\(\end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 35, а второе на 4:

\(\begin{align*}\) 35 \(\left\)\(\frac{2a+1}{7} + \frac{2b+2}{5} \right\) &= 35 \(\cdot\) \(\frac{1}{5}\) \\ 5(2a+1) + 7(2b+2) &= 7 \\ 10a + 5 + 14b + 14 &= 7 \\ 10a + 14b &= 7 - 19 \\ 10a + 14b &= -12 \\ 5a + 7b &= -6
end{align*}\(\begin{align*}\) 4 \(\left\)\(\frac{3a-2}{2} + \frac{b+4}{4} \right\) &= 4
\(\cdot\) 4 \\ 2(3a-2) + (b+4) &= 16 \\ 6a - 4 + b + 4 &= 16 \\ 6a + b &= 16
end{align*}

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

\(\begin{cases}\) 5a+7b = -6 \\ 6a+b = 16
\(\end{cases}\)

Из второго уравнения выразим \( b \): \( b = 16 - 6a \).

Подставим в первое уравнение:

\(\begin{align*}\) 5a + 7(16 - 6a) &= -6 \\ 5a + 112 - 42a &= -6 \\ -37a &= -6 - 112 \\ -37a &= -118 \\ a &= \(\frac{-118}{-37}\) \\ a &= 2
end{align*}

Подставим \( a=2 \) в уравнение для \( b \):

\(\begin{align*}\) b &= 16 - 6(2) \\ b &= 16 - 12 \\ b &= 4
end{align*}

Ответ: 1) x = 5, y = 3; 2) a = 2, b = 4.