3. Решите систему уравнений 5x+3y=15, 2x-4y=19 способом алгебраического сложения.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений вместе. Нам нужно найти такие значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Система уравнений:

• \[ 5x + 3y = 15 \]
• \[ 2x - 4y = 19 \]

Будем использовать метод алгебраического сложения. Суть метода в том, чтобы умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных (x или y) стали противоположными. Тогда при сложении уравнений эта переменная исчезнет.

1. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5. Это сделано для того, чтобы коэффициенты при x стали 10 и -10.
• \[ (5x + 3y = 15) \times 2 \implies 10x + 6y = 30 \]
• \[ (2x - 4y = 19) \times (-5) \implies -10x + 20y = -95 \]
2. Сложим полученные уравнения:
• \[ (10x + 6y) + (-10x + 20y) = 30 + (-95) \]
• \[ 10x + 6y - 10x + 20y = 30 - 95 \]
• \[ 26y = -65 \]
3. Найдем значение y:
• \[ y = \frac{-65}{26} \]
• \[ y = -\frac{5}{2} = -2.5 \]
4. Теперь подставим найденное значение y в любое из исходных уравнений, чтобы найти x. Возьмем первое уравнение:
• \[ 5x + 3y = 15 \]
• \[ 5x + 3(-\frac{5}{2}) = 15 \]
• \[ 5x - \frac{15}{2} = 15 \]
• \[ 5x = 15 + \frac{15}{2} \]
• \[ 5x = \frac{30}{2} + \frac{15}{2} \]
• \[ 5x = \frac{45}{2} \]
• \[ x = \frac{45}{2} \div 5 \]
• \[ x = \frac{45}{2} \times \frac{1}{5} \]
• \[ x = \frac{45}{10} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Проверка:

Подставим найденные значения x = 4.5 и y = -2.5 во второе уравнение:

• \[ 2x - 4y = 19 \]
• \[ 2(4.5) - 4(-2.5) = 19 \]
• \[ 9 - (-10) = 19 \]
• \[ 9 + 10 = 19 \]
• \[ 19 = 19 \]

Все верно!

Ответ: x = 4.5, y = -2.5