3. Решите систему уравнений способом подстановки $$\begin{cases} x - y = 6 \\ x^2 + y^2 = 68 \end{cases}$$

Решение:

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( x = 6 + y \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( (6 + y)^2 + y^2 = 68 \)

Раскроем скобки:

\( 36 + 12y + y^2 + y^2 = 68 \)

Приведём подобные члены:

\( 2y^2 + 12y + 36 - 68 = 0 \)

\( 2y^2 + 12y - 32 = 0 \)

Разделим всё на 2:

\( y^2 + 6y - 16 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \)

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( x \) подставляя \( y \) в уравнение \( x = 6 + y \):

При \( y_1 = 2 \): \( x_1 = 6 + 2 = 8 \)

При \( y_2 = -8 \): \( x_2 = 6 + (-8) = -2 \)

Ответ: \( (8; 2) \), \( (-2; -8) \)