3. Решите уравнение: а) 2^{2x-7x+10}=1; б) \(\log\)_3 (x - 2) + \(\log\)_3 (x + 6) = 2; В) \(\cos\) x - 1/2 = 0

Решение:

а) Решим уравнение 2^{2x-7x+10}=1

• Упростим показатель степени: \( 2x - 7x + 10 = -5x + 10 \).
• Уравнение принимает вид: \( 2^{-5x+10} = 1 \).
• Так как \( 2^0 = 1 \), то показатель степени должен быть равен 0: \( -5x + 10 = 0 \).
• Решим полученное линейное уравнение: \( -5x = -10 \), \( x = 2 \).

б) Решим уравнение \(\log\)_3 (x - 2) + \(\log\)_3 (x + 6) = 2

• Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x - 2 > 0 \) и \( x + 6 > 0 \). Это значит, что \( x > 2 \).
• Используем свойство логарифмов: \( \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) \).
• \( \log_3 ((x - 2)(x + 6)) = 2 \)
• \( \log_3 (x^2 + 6x - 2x - 12) = 2 \)
• \( \log_3 (x^2 + 4x - 12) = 2 \)
• По определению логарифма: \( x^2 + 4x - 12 = 3^2 \)
• \( x^2 + 4x - 12 = 9 \)
• \( x^2 + 4x - 21 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \).
• \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
• Проверяем ОДЗ: \( x > 2 \). Подходит только \( x = 3 \).

В) Решим уравнение \(\cos\) x - 1/2 = 0

• \( \cos x = 1/2 \)
• Уравнение имеет два серии решений: \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: а) \( x = 2 \); б) \( x = 3 \); в) \( x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).