3. Решите уравнение а) \(\sqrt[3]{x+2}=5\), б) \(\sqrt{3x-2}=-x\)

Решение:

а) Решим уравнение \(\sqrt[3]{x+2}=5\).

1. Возведём обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от кубического корня: \((\sqrt[3]{x+2})^3 = 5^3\)
2. Упростим: \(x+2 = 125\)
3. Выразим \(x\): \(x = 125 - 2\)
4. Вычислим: \(x = 123\)

б) Решим уравнение \(\sqrt{3x-2}=-x\).

Для начала наложим ограничения: \(3x-2 \ge 0\) (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) и \(-x \ge 0\) (правая часть, равная квадратному корню, не может быть отрицательной, следовательно, \(x \le 0\)).

Из \(3x-2 \ge 0\) следует \(3x \ge 2\), то есть \(x \ge \frac{2}{3}\).

Таким образом, у нас есть два условия: \(x \ge \frac{2}{3}\) и \(x \le 0\). Эти условия противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно \(\frac{2}{3}\) и меньше или равно \(0\). Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Проверка: Если бы мы проигнорировали ограничения и возвели обе части в квадрат, получили бы:

• \((\sqrt{3x-2})^2 = (-x)^2\)
• \(3x-2 = x^2\)
• \(x^2 - 3x + 2 = 0\)
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\).
• Корни: \(x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\).
• Проверим полученные корни по условию \(x \le 0\). Ни \(x=2\), ни \(x=1\) не удовлетворяют этому условию. Следовательно, решений нет.

Ответ: а) 123; б) решений нет.