3. Решите уравнение: a) y(y - 3)(y + 3) - y(y² + 6) = 30; б) y²(y – 5) – y(y + 2)² = -2 - 9x².

Решение:

а) Решим уравнение \( y(y - 3)(y + 3) - y(y^2 + 6) = 30 \)

1. Применим формулу разности квадратов: \( (y - 3)(y + 3) = y^2 - 9 \).
2. Подставим в уравнение: \( y(y^2 - 9) - y(y^2 + 6) = 30 \).
3. Раскроем скобки: \( y^3 - 9y - y^3 - 6y = 30 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( -15y = 30 \).
5. Разделим обе части на -15: \( y = \frac{30}{-15} = -2 \).

б) Решим уравнение \( y^2(y - 5) - y(y + 2)^2 = -2 - 9x^2 \)

1. Раскроем скобки в первой части: \( y^3 - 5y^2 - y(y^2 + 4y + 4) = -2 - 9x^2 \).
2. Продолжим раскрывать скобки: \( y^3 - 5y^2 - y^3 - 4y^2 - 4y = -2 - 9x^2 \).
3. Приведём подобные слагаемые: \( -9y^2 - 4y = -2 - 9x^2 \).
4. Перенесём все члены в левую часть: \( -9y^2 - 4y + 9x^2 + 2 = 0 \).
5. Умножим обе части на -1 для удобства: \( 9y^2 + 4y - 9x^2 - 2 = 0 \).
6. Данное уравнение является квадратным относительно \( y \), но содержит переменную \( x \). Для его решения относительно \( y \) используем формулу корней квадратного уравнения, где \( a = 9 \), \( b = 4 \), \( c = -9x^2 - 2 \).
7. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-9x^2 - 2) = 16 + 36(9x^2 + 2) = 16 + 324x^2 + 72 = 324x^2 + 88 \).
8. Корни уравнения: \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{324x^2 + 88}}{2 \cdot 9} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(81x^2 + 22)}}{18} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{81x^2 + 22}}{18} = \frac{-2 \pm \sqrt{81x^2 + 22}}{9} \).

Ответ: а) \( y = -2 \); б) \( y = \frac{-2 \pm \sqrt{81x^2 + 22}}{9} \).