3. Решите уравнение: $$\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}$$

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корней: \[ 3x^2 - 3 = 8x \]
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 3x^2 - 8x - 3 = 0 \]
3. Определим коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 3 \), \( b = -8 \), \( c = -3 \).
4. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \]
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
6. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
7. Проверим полученные корни:
• При \( x = 3 \): \( \sqrt[3]{3(3)^2 - 3} = \sqrt[3]{3 \cdot 9 - 3} = \sqrt[3]{27 - 3} = \sqrt[3]{24} \) и \( \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24} \). Равенство выполняется.
• При \( x = -\frac{1}{3} \): \( \sqrt[3]{3(-\frac{1}{3})^2 - 3} = \sqrt[3]{3 \cdot \frac{1}{9} - 3} = \sqrt[3]{\frac{1}{3} - 3} = \sqrt[3]{-\frac{8}{3}} \) и \( \sqrt[3]{8 \cdot (-\frac{1}{3})} = \sqrt[3]{-\frac{8}{3}} \). Равенство выполняется.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -⅛.