3. Решите уравнение a) \(\frac{x+4}{5}\) - x + 5 = \(\frac{x+3}{3}\) - \(\frac{x-2}{2}\); б) 4x^3 - 16x = 0; в) (3x+2)^2 - (5x-1)^2 = (1-4x)(1+4x); г) 2(3x-1)^2 - (x+1)(7x+5) = 11(2+x)(x-2)

Решение:

а) Решаем линейное уравнение:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю 30:



\[ \frac{6(x+4)}{30} - \frac{30x}{30} + \frac{150}{30} = \frac{10(x+3)}{30} - \frac{15(x-2)}{30} \]



2. Умножим обе части уравнения на 30, чтобы избавиться от знаменателей:



\[ 6(x+4) - 30x + 150 = 10(x+3) - 15(x-2) \]



3. Раскроем скобки:



\[ 6x + 24 - 30x + 150 = 10x + 30 - 15x + 30 \]



4. Приведем подобные слагаемые:



\[ -24x + 174 = -5x + 60 \]



5. Перенесем члены с x в одну сторону, а числа — в другую:



\[ -24x + 5x = 60 - 174 \]




\[ -19x = -114 \]



6. Найдем x:



\[ x = \frac{-114}{-19} = 6 \]

Ответ: x = 6

б) Решаем кубическое уравнение:

1. Вынесем общий множитель 4x за скобки:



\[ 4x(x^2 - 4) = 0 \]



2. Разложим выражение в скобках как разность квадратов (x² - 2² = (x-2)(x+2)):



\[ 4x(x-2)(x+2) = 0 \]



3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:




• $$4x = 0 \rightarrow x_1 = 0$$


• $$x-2 = 0 \rightarrow x_2 = 2$$


• $$x+2 = 0 \rightarrow x_3 = -2$$

Ответ: x = 0, x = 2, x = -2

в) Решаем квадратное уравнение:

1. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности:



\[ (9x^2 + 12x + 4) - (25x^2 - 10x + 1) = 1 - 16x^2 \]



2. Упростим левую часть:



\[ 9x^2 + 12x + 4 - 25x^2 + 10x - 1 = 1 - 16x^2 \]




\[ -16x^2 + 22x + 3 = 1 - 16x^2 \]



3. Перенесем все члены уравнения в левую часть:



\[ -16x^2 + 22x + 3 - 1 + 16x^2 = 0 \]



4. Сократим -16x² и +16x²:



\[ 22x + 2 = 0 \]



5. Решим полученное линейное уравнение:



\[ 22x = -2 \]




\[ x = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11} \]

Ответ: x = -1/11

г) Решаем сложное квадратное уравнение:

1. Раскроем скобки в левой части:



\[ 2(9x^2 - 6x + 1) - (7x^2 + 5x + 7x + 5) = 11(2x - 4 + x^2 - 2x) \]




\[ (18x^2 - 12x + 2) - (7x^2 + 12x + 5) = 11(x^2 - 4) \]



2. Упростим левую часть:



\[ 18x^2 - 12x + 2 - 7x^2 - 12x - 5 = 11x^2 - 44 \]




\[ 11x^2 - 24x - 3 = 11x^2 - 44 \]



3. Перенесем все члены уравнения в левую часть:



\[ 11x^2 - 24x - 3 - 11x^2 + 44 = 0 \]



4. Сократим 11x² и -11x²:



\[ -24x + 41 = 0 \]



5. Решим полученное линейное уравнение:



\[ -24x = -41 \]




\[ x = \frac{-41}{-24} = \frac{41}{24} \]

Ответ: x = 41/24