3. Решите уравнения: а) $(\lg x)^2-\lg x=2$; б) $3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3$; в) $\log_2 x-\log_x4=3$; г) $\log_2(5x-1)-\dfrac{3}{\log_2(5x-1)-1}+1=0$; д) $5^x-6\cdot5^{-x}=3{,}8$.

Question

$Фото задания: 3. Решите уравнения: а) $(\lg x)^2-\lg x=2$; б) $3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3$; в) $\log_2 x-\log_x4=3$; г)…$ Открыть фото задания

Accepted Answer

Пусть $t=\lg x$. Тогда $t^2-t=2$, откуда $(t-2)(t+1)=0$. Значит, $t=2$ или $t=-1$. Поэтому $x=10^2=100$ или $x=10^{-1}=0{,}1$.
Пусть $y=3^{x-2}$, где $y>0$. Тогда $3^{2x-3}=3y^2$, поэтому $3y^2-8y=3$, то есть $(3y+1)(y-3)=0$. С учётом $y>0$ получаем $y=3$. Следовательно, $3^{x-2}=3$, откуда $x=3$.
Область определения: $x>0$, $x\ne1$. Обозначим $t=\log_2x$, тогда $\log_x4=\dfrac{2}{t}$. Получаем $t-\dfrac{2}{t}=3$, или $t^2-3t-2=0$. Отсюда $t=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}$. Оба значения допустимы, поэтому $x=2^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}$ или $x=2^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}$.
Пусть $t=\log_2(5x-1)$, причём $t\ne1$. Тогда $t-\dfrac{3}{t-1}+1=0$. Умножая на $t-1$, получаем $(t+1)(t-1)-3=0$, то есть $t^2-4=0$. Значит, $t=2$ или $t=-2$. Тогда $5x-1=4$ или $5x-1=\dfrac14$, откуда $x=1$ или $x=\dfrac14$. Оба корня удовлетворяют области определения.
Пусть $y=5^x$, где $y>0$. Тогда $5^{-x}=\dfrac1y$, и уравнение принимает вид $y-\dfrac6y=3{,}8$. Умножаем на $y$: $y^2-3{,}8y-6=0$. Корни: $y=5$ и $y=-1{,}2$. Так как $y>0$, остаётся $y=5$, следовательно, $5^x=5$ и $x=1$.

Ответ: а) $0{,}1; 100$; б) $3$; в) $2^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}; 2^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}$; г) $\frac14; 1$; д) $1$.

3. Решите уравнения: а) \((\lg x)^2-\lg x=2\); б) \(3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3\); в) \(\log_2 x-\log_x4=3\); г) \(\log_2(5x-1)-\dfrac{3}{\log_2(5x-1)-1}+1=0\); д) \(5^x-6\cdot5^{-x}=3{,}8\).