3. Решите уравнения с модулем: а) |2x − 3| = 1; б) |1001x + 14| = −1; в) |x² − x| = 0; г) ||x − 1| − 4| = 3; д) |||x − 3| − 3| − 3| = 3; е) |8 − |x + 2|| = 7; ж) |x + 1| + |5 − x| = 20; з) |x − 1| + |x + 2| = 3; и) |8 + x| + |7 − x| = 10; к) ||2x − 3| − 1| = x; л) |3x + 2| = 4; м) |125x − 34| = −2; н) |x⁴ + x| = 0; о) ||x + 3| − 4| = 1; п) |||x − 3| + 3| − 3| = 3; р) |10 − |x − 1|| = 8; ж) |x − 1| + |5 − x| = 18; з) |x − 3| + |x + 1| = 4; и) |9 − x| + |1 + x| = 8; к) ||3x + 2| − 4| = x.

Для уравнения |A| = c при c < 0 решений нет; при c ≥ 0 рассматриваем A = c и A = −c. Для сумм модулей учитываем промежутки, разделённые нулями выражений под модулями.

1. а) 2x − 3 = 1 или 2x − 3 = −1, поэтому x = 2 или x = 1.
2. б) Модуль не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
3. в) |x² − x| = 0 означает x² − x = 0; x(x − 1) = 0, поэтому x = 0 или x = 1.
4. г) |x − 1| − 4 = 3 или −3. Получаем |x − 1| = 7 или 1; x ∈ {−6, 0, 2, 8}.
5. д) Обозначим t = ||x − 3| − 3|. Тогда |t − 3| = 3, откуда t = 0 или 6. В итоге x ∈ {−6, 0, 6, 12}.
6. е) 8 − |x + 2| = 7 или −7. Отсюда |x + 2| = 1 или 15; x ∈ {−17, −3, −1, 13}.
7. ж) При x ≤ −1 сумма равна 4 − 2x, откуда x = −8. При x ≥ 5 сумма равна 2x − 4, откуда x = 12. Между −1 и 5 сумма не превышает 6. Ответ: x ∈ {−8, 12}.
8. з) Между −2 и 1 сумма расстояний до точек −2 и 1 равна 3. Вне этого промежутка сумма больше 3. Ответ: x ∈ [−2; 1].
9. и) Между −8 и 7 сумма равна 15; вне этого промежутка она не может стать равной 10. Решений нет.
10. к) Так как правая часть равна x, необходимо x ≥ 0. Разбор по знакам выражений под модулями даёт x = 2/3 или x = 4.
11. л) 3x + 2 = 4 или −4, поэтому x = 2/3 или x = −2.
12. м) Модуль не может быть равен −2. Решений нет.
13. н) |x⁴ + x| = 0 означает x⁴ + x = 0; x(x³ + 1) = x(x + 1)(x² − x + 1) = 0. У квадратного множителя действительных корней нет, поэтому x = 0 или x = −1.
14. о) |x + 3| − 4 = 1 или −1, значит |x + 3| = 5 или 3. Ответ: x ∈ {−8, −6, 0, 2}.
15. п) Выражение |x − 3| + 3 неотрицательно, поэтому внутренний модуль после упрощения даёт |x − 3| = 3. Ответ: x = 0 или x = 6.
16. р) 10 − |x − 1| = 8 или −8, значит |x − 1| = 2 или 18. Ответ: x ∈ {−17, −1, 3, 19}.
17. ж) При x ≤ 1 сумма равна 4 − 2x, откуда x = −7; при x ≥ 5 сумма равна 2x − 4, откуда x = 11. Между 1 и 5 сумма не превышает 4. Ответ: x ∈ {−7, 11}.
18. з) Между −1 и 3 сумма расстояний до этих точек равна 4. Ответ: x ∈ [−1; 3].
19. и) Для любого x сумма расстояний до −1 и 9 не меньше расстояния между ними, то есть 10. Равной 8 она быть не может; решений нет.
20. к) При x ≥ 0 имеем |3x + 2| = 3x + 2, поэтому |3x − 2| = x. Решения двух случаев: x = 1/2 и x = 1.