3. Рис. 649. Дано: АВ, ВС — касательные, ОВ = 2, АО = 4. Найти: ∠ВОС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \)

• \( OB = 2 \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
• \( \angle OBC = 90^{\circ} \).
• По теореме Пифагора в \( \triangle ABO \): \( AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
• Так как \( AB \) и \( BC \) — отрезки касательных, проведенных из одной точки, то \( AB = BC = 2\sqrt{3} \).
• В \( \triangle BOC \): \( \cos(\angle BOC) = \frac{OB}{OC} \) (ошибка, \( OC \) — радиус, \( OB \) — катет, \( OC \) — гипотенуза).
• В \( \triangle BOC \): \( \cos(\angle BOC) = \frac{OB}{OC} = \frac{2}{OC} \) — неверно, \( OB \) — катет, \( OC \) — радиус, \( BC \) — катет.
• В \( \triangle BOC \) \( \angle OCB = 90^{\circ} \).
• \( \cos(\angle BOC) = \frac{OB}{OC} \) — неверно.
• \( \sin(\angle BOC) = \frac{BC}{OC} \) — неверно.
• \( \tan(\angle BOC) = \frac{BC}{OB} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
• Следовательно, \( \angle BOC = 60^{\circ} \).

Ответ: \( 60^{\circ} \).