3) $$S_1 = t^3 + 7t^2 - 5t + 1$$, $$S_2 = t^3 + 6t^2 + 4t - 2$$, $$v_1 = v_2$$, $$a_1, a_2 = ?$$

Краткое пояснение:

Нам даны два уравнения движения \( S_1(t) \) и \( S_2(t) \) и условие, что скорости \( v_1 \) и \( v_2 \) равны. Наша задача — найти ускорения \( a_1 \) и \( a_2 \) в момент времени, когда скорости равны. Для этого сначала найдем выражения для скоростей, продифференцировав \( S_1 \) и \( S_2 \) по времени, затем приравняем их, чтобы найти момент времени \( t \), и, наконец, найдем ускорения, продифференцировав скорости.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем скорости \( v_1(t) \) и \( v_2(t) \), взяв первую производную от \( S_1 \) и \( S_2 \) по времени:
  \( v_1(t) = \frac{dS_1}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 7t^2 - 5t + 1) = 3t^2 + 14t - 5 \)
  \( v_2(t) = \frac{dS_2}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 6t^2 + 4t - 2) = 3t^2 + 12t + 4 \)
• Шаг 2: Приравняем скорости \( v_1(t) \) и \( v_2(t) \) для нахождения момента времени \( t \), когда они равны:
  \( 3t^2 + 14t - 5 = 3t^2 + 12t + 4 \)
  \( 14t - 5 = 12t + 4 \)
  \( 2t = 9 \)
  \( t = \frac{9}{2} = 4.5 \)
• Шаг 3: Найдем ускорения \( a_1(t) \) и \( a_2(t) \), взяв первую производную от \( v_1 \) и \( v_2 \) по времени:
  \( a_1(t) = \frac{dv_1}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 14t - 5) = 6t + 14 \)
  \( a_2(t) = \frac{dv_2}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 12t + 4) = 6t + 12 \)
• Шаг 4: Подставим найденное значение \( t = 4.5 \) в выражения для ускорений:
  \( a_1(4.5) = 6(4.5) + 14 = 27 + 14 = 41 \)
  \( a_2(4.5) = 6(4.5) + 12 = 27 + 12 = 39 \)

Ответ: Ускорения \( a_1 = 41 \) и \( a_2 = 39 \) в момент времени, когда скорости равны.