3. Самым трудным для финалистов оказалось такое задание: Третьеклассник Гриша хочет составить из этих трёх фигур многоугольник, имеющий периметр 18 см. Сторона клетки – 1 см. Нарисуйте на сетке многоугольник, который может получиться у Гриши. Длина клетки – 1 см.

Решение:

Три фигуры, показанные на рисунке, являются прямоугольниками, составленными из клеток. Каждая клетка имеет сторону 1 см.

Фигура 1: 2 клетки в ширину, 4 клетки в высоту. Размеры: 2 см х 4 см. Периметр: \( 2 \times (2+4) = 12 \) см. Площадь: \( 2 \times 4 = 8 \) см².

Фигура 2: 2 клетки в ширину, 2 клетки в высоту. Размеры: 2 см х 2 см. Периметр: \( 2 \times (2+2) = 8 \) см. Площадь: \( 2 \times 2 = 4 \) см².

Фигура 3: 2 клетки в ширину, 2 клетки в высоту. Размеры: 2 см х 2 см. Периметр: \( 2 \times (2+2) = 8 \) см. Площадь: \( 2 \times 2 = 4 \) см².

Общая площадь трех фигур: \( 8 + 4 + 4 = 16 \) см².

Гриша хочет составить из этих фигур многоугольник с периметром 18 см.

Чтобы получить периметр 18 см, нам нужно соединить фигуры так, чтобы общая длина сторон, образующих новый периметр, была равна 18 см. Минимальный периметр, который можно получить, соединив все три фигуры, будет меньше 18 см, так как при соединении внутренних сторон они перестают быть частью внешнего периметра.

Рассмотрим возможные варианты соединения фигур:

1. Соединение всех трех фигур в одну полосу:

• Если соединить их так: [2x4] + [2x2] + [2x2] в одну линию, например, по стороне длиной 2 см. Получится фигура длиной \( 4+2+2 = 8 \) см и шириной 2 см. Периметр: \( 2 \times (8+2) = 20 \) см.
• Если соединить их иначе, например, [2x2] + [2x4] + [2x2]. Получится фигура: 2 см (сверху) + 4 см (справа) + 2 см (снизу) + 2 см (слева) + 4 см (сверху) + 2 см (справа) + 2 см (снизу) + 2 см (слева). Нет, так не получится.
• Проще: [2x2] + [2x4] + [2x2] -> общая ширина 2+2+2=6, высота 4. Периметр 2*(6+4)=20.
• Фигура [2x4], две фигуры [2x2]. Соединим их в ряд: 2 см (ширина) + 4 см (ширина) + 2 см (ширина) = 8 см. Высота фигуры будет 4 см. Периметр = 2*(8+4) = 24 см.
• Если соединить фигуры [2x2] + [2x4] + [2x2] таким образом, что общая длина будет \( 2+4+2 = 8 \) и ширина 2. Тогда периметр \( 2 \times (8+2) = 20 \).
• Если соединить фигуры [2x2] + [2x2] + [2x4]. Общая длина \( 2+2+4 = 8 \) и ширина 2. Периметр \( 2 \times (8+2) = 20 \).

Вариант, дающий периметр 18 см:

Для получения периметра 18 см, нужно, чтобы сумма длин сторон многоугольника составляла 18 см. Изменим фигуры или соединим их особым образом. Например, если мы соединим самую большую фигуру (2х4) и одну из самых маленьких (2х2) так, чтобы они образовали одну сторону в 6 см и другую в 2 см. Тогда периметр будет \( 2 \times (6+2) = 16 \) см. Это не то.

Попробуем другую комбинацию. Возьмем фигуру 2х4 (периметр 12) и одну фигуру 2х2 (периметр 8). Если мы приложим фигуру 2х2 к стороне 2 см фигуры 2х4, то новая фигура будет иметь размеры: 2х4 + 2х2 = 6х2 (если приложить к стороне 4) или 4х4 (если приложить к стороне 2). Если 4х4, то периметр \( 2 \times (4+4) = 16 \). Если 6х2, то периметр \( 2 \times (6+2) = 16 \).

Важно: Суммарная площадь всех фигур 16 см². Если периметр 18 см, то возможны разные формы. Например, прямоугольник 5х4 имеет периметр \( 2 \times (5+4) = 18 \) см. Но из данных фигур такую фигуру получить сложно.

Давайте попробуем составить фигуру, используя все три прямоугольника, чтобы получить периметр 18 см. Площадь новой фигуры будет \( 16 \) см².

Ищем прямоугольник с периметром 18 см и площадью 16 см². \( 2(a+b) = 18 \Rightarrow a+b=9 \). \( a \times b = 16 \). Корни уравнения \( x^2 - 9x + 16 = 0 \) не являются целыми числами. Значит, прямоугольник с площадью 16 см² и периметром 18 см не существует.

Это означает, что фигура, которую должен нарисовать Гриша, не является простым прямоугольником. Она может быть Г-образной или другой формы, составленной из трех исходных фигур.

Попробуем такую конфигурацию:

Разместим фигуру 2х4. К одной из сторон длиной 4 см приложим одну фигуру 2х2. Получится фигура 6х2. Теперь к одной из сторон длиной 6 см приложим вторую фигуру 2х2. Получится фигура 8х2. Периметр \( 2 \times (8+2) = 20 \).

Другой вариант:

Возьмем фигуру 2х4. Приложим фигуру 2х2 к стороне длиной 2 см. Получим фигуру 4х4 (периметр 16). Теперь приложим вторую фигуру 2х2 к стороне 4х4. Например, к боковой стороне. Получится фигура, где одна часть 4х4, а к ней сбоку примыкает 2х2. Тогда форма будет:

• Верхняя сторона: 4 см
• Правая сторона: 4 см + 2 см = 6 см
• Нижняя сторона: 2 см + 2 см = 4 см
• Левая сторона: 4 см

Периметр: \( 4 + 6 + 4 + 4 = 18 \) см. Эта фигура состоит из трех исходных прямоугольников.

Рисуем эту фигуру на сетке:

• Начнем с квадрата 4х4.
• К правой стороне этого квадрата добавим прямоугольник 2х2 (прикладывая сторону 2 к стороне 4).