3. Сколько решений имеет система уравнений a) { x - y = 1; 5x - 5y = -5 } б) { 5x + 2y = 1; 6x + 4y = 2 }

Решение:

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений, можно сравнить коэффициенты уравнений.

а) Система уравнений:

• \( x - y = 1 \)
• \( 5x - 5y = -5 \) (разделим второе уравнение на 5: \( x - y = -1 \))

Уравнения \( x - y = 1 \) и \( x - y = -1 \) имеют одинаковые левые части, но разные правые. Это означает, что прямые параллельны и не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

б) Система уравнений:

• \( 5x + 2y = 1 \)
• \( 6x + 4y = 2 \) (разделим второе уравнение на 2: \( 3x + 2y = 1 \))

Сравним первое уравнение \( 5x + 2y = 1 \) и полученное второе уравнение \( 3x + 2y = 1 \). Уравнения имеют одинаковые правые части, но разные коэффициенты при \( x \) и \( y \). Чтобы точно определить количество решений, можно вычесть одно уравнение из другого: \( (5x + 2y) - (3x + 2y) = 1 - 1 \), что даёт \( 2x = 0 \), откуда \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в первое уравнение: \( 5(0) + 2y = 1 \), \( 2y = 1 \), \( y = 0.5 \). Система имеет одно решение.

Ответ: а) 0 решений; б) 1 решение.