3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x). Найти функцию плотности вероятности f(x), числовые характеристики М, Д. Построить графики функций F(x) и f(x). F(x) = { 0, x <= 0 x^2/3 + 2x/3, 0 < x <= 1 1, x > 1 }

Решение:

Задана интегральная функция распределения случайной величины X:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{3}, & 0 < x \le 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \]

1. Нахождение функции плотности вероятности f(x)

Функция плотности вероятности является производной от интегральной функции распределения:

\[ f(x) = F'(x) \]

• При \( x < 0 \): \( f(x) = (0)' = 0 \)


• При \( 0 < x < 1 \): \( f(x) = \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{3} \right)' = \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2(x+1)}{3} \)


• При \( x > 1 \): \( f(x) = (1)' = 0 \)

Таким образом, функция плотности вероятности:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x+1)}{3}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x \le 0 \text{ или } x \ge 1 \end{cases} \]

2. Вычисление числовых характеристик

Математическое ожидание M(X)

\[ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{2(x+1)}{3} dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (x^2 + x) dx \]

\[ M(X) = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} - 0 \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{2+3}{6} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \]

Дисперсия D(X)

Сначала найдем \( M(X^2) \):

\[ M(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{1} x^2 \cdot \frac{2(x+1)}{3} dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (x^3 + x^2) dx \]

\[ M(X^2) = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left( \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{3+4}{12} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{12} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{7}{18} - \left( \frac{5}{9} \right)^2 = \frac{7}{18} - \frac{25}{81} = \frac{7 \cdot 9 - 25 \cdot 2}{162} = \frac{63 - 50}{162} = \frac{13}{162} \]

3. Построение графиков

График F(x)

График \( F(x) \) состоит из трех частей:

• На \( (-\infty, 0] \), \( F(x) = 0 \) — горизонтальная линия на оси X.


• На \( (0, 1] \), \( F(x) = \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{3} \) — парабола. В точке \( x=0 \), \( F(0)=0 \). В точке \( x=1 \), \( F(1) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \).


• На \( (1, \infty) \), \( F(x) = 1 \) — горизонтальная линия на уровне y=1.

График f(x)

График \( f(x) \) состоит из:

• На \( (-\infty, 0] \) и \( [1, \infty) \), \( f(x) = 0 \) — ось X.


• На \( (0, 1) \), \( f(x) = \frac{2(x+1)}{3} \) — прямая линия. В точке \( x=0 \), \( f(0) = \frac{2}{3} \). В точке \( x=1 \), \( f(1) = \frac{2(1+1)}{3} = \frac{4}{3} \).

Ответ:

Функция плотности вероятности:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x+1)}{3}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x \le 0 \text{ или } x \ge 1 \end{cases} \]

Числовые характеристики:
Математическое ожидание \( M(X) = \frac{5}{9} \)
Дисперсия \( D(X) = \frac{13}{162} \)

Графики функций F(x) и f(x) построены выше.