№ 3. Согласно донесению иностранной разведки, некоторые страны планируют заключить 44 соглашения. Каждое государство подпишет договор ровно с 6 другими. Может ли такое быть?

Решение:

Дано:

Количество стран (вершин графа): \( V = 44 \).

Каждое государство подпишет договор ровно с 6 другими (степень каждой вершины): \( d = 6 \).

Найти:

Может ли такая ситуация существовать.

Решение:

Для того чтобы такая ситуация была возможной, сумма степеней всех вершин должна быть четным числом (по лемме Гаккеля, сумма степеней равна удвоенному числу ребер).

Сумма степеней всех вершин:

\( ∑ d_i = V × d \)

\( ∑ d_i = 44 × 6 = 264 \)

Сумма степеней равна 264, что является четным числом. Это означает, что такое количество соглашений теоретически возможно.

Теперь найдем количество ребер (соглашений):

\( 2E = 264 \)

\( E = \frac{264}{2} \)

\( E = 132 \)

Поскольку \( E = 132 \) — целое число, такая ситуация может существовать.

Ответ: Да, такое может быть.