3. Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; -1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ?

Краткая запись:

• Точка M: (-1; 7)
• Точка N: (3; -1)
• Найти: Уравнение перпендикуляра к отрезку MN, проходящего через его середину, и угол, который он образует с осью ОХ.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим координаты середины отрезка MN (точка O). Используем формулу нахождения середины отрезка: \( O = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \).
   \( x_O = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
   \( y_O = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
   Координаты середины отрезка O: (1; 3).
2. Шаг 2: Находим угловой коэффициент (наклон) прямой MN (k_MN). Используем формулу: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
   \( k_{MN} = \frac{-1 - 7}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2 \).
3. Шаг 3: Находим угловой коэффициент перпендикуляра (k_perp). Так как прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно -1: \( k_{MN} \cdot k_{perp} = -1 \).
   \( -2 \cdot k_{perp} = -1 \)
   \( k_{perp} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \).
4. Шаг 4: Составляем уравнение перпендикуляра. Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом: \( y - y_0 = k_{perp}(x - x_0) \), где \( (x_0, y_0) \) — координаты середины отрезка (1; 3).
   \( y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \)
   Умножаем обе части на 2:
   \( 2(y - 3) = x - 1 \)
   \( 2y - 6 = x - 1 \)
   Переносим все в одну сторону:
   \( x - 2y - 1 + 6 = 0 \)
   \( x - 2y + 5 = 0 \).
5. Шаг 5: Находим угол, который образует перпендикуляр с положительным направлением оси ОХ. Тангенс угла наклона прямой равен её угловому коэффициенту: \( an(α) = k_{perp} \).
   \( an(α) = \frac{1}{2} \)
   \( α = ext{arctg}(\frac{1}{2}) \).
   Приблизительное значение угла: \( α ≈ 26.57^° \).

Ответ: Уравнение перпендикуляра: \( x - 2y + 5 = 0 \). Угол с положительным направлением оси ОХ: \( ext{arctg}(\frac{1}{2}) ≈ 26.57^° \).