3. Составьте и решите уравнения: а) f′(x) = f′(−2), если f(x) = (x² + 3x)/(x + 4); б) f′(x) = f(x) − 2x, если f(x) = 2x + 1/x.

а) Область определения: \(x \ne -4\).

\[f'(x)=\frac{(2x+3)(x+4)-(x^2+3x)}{(x+4)^2}=\frac{x^2+8x+12}{(x+4)^2}.\]

\[f'(-2)=\frac{(-2)^2+8(-2)+12}{(-2+4)^2}=0.\]

Составим уравнение:

\[\frac{x^2+8x+12}{(x+4)^2}=0.\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[x^2+8x+12=0,\qquad (x+2)(x+6)=0.\]

\[x_1=-2,\qquad x_2=-6.\]

б) Область определения: \(x \ne 0\).

\[f'(x)=2-\frac{1}{x^2}.\]

Составим уравнение:

\[2-\frac{1}{x^2}=\left(2x+\frac1x\right)-2x=\frac1x.\]

Умножим на \(x^2\):

\[2x^2-1=x,\qquad 2x^2-x-1=0.\]

\[(2x+1)(x-1)=0.\]

\[x_1=-\frac12,\qquad x_2=1.\]

Оба корня допустимы.

Ответ: а) \(x=-6; -2\); б) \(x=-\frac12; 1\).