3. Составьте и решите уравнения: а) f′(x) = f′(6), если f(x) = (x² − 3x)/(x − 4); б) xf′(x) = f(x) + 4, если f(x) = x − 1/x.

а) Область определения: \(x \ne 4\).

\[f'(x)=\frac{(2x-3)(x-4)-(x^2-3x)}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x+12}{(x-4)^2}.\]

\[f'(6)=\frac{6^2-8\cdot6+12}{(6-4)^2}=0.\]

Составим уравнение:

\[\frac{x^2-8x+12}{(x-4)^2}=0.\]

\[x^2-8x+12=0,\qquad (x-2)(x-6)=0.\]

\[x_1=2,\qquad x_2=6.\]

Оба корня допустимы.

б) Область определения: \(x \ne 0\).

\[f'(x)=1+\frac{1}{x^2}.\]

Подставим в уравнение:

\[x\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=x-\frac1x+4.\]

\[x+\frac1x=x-\frac1x+4.\]

Сократим \(x\) и умножим на \(x\):

\[\frac2x=4,\qquad 2=4x,\qquad x=\frac12.\]

Корень допустим.

Ответ: а) \(x=2; 6\); б) \(x=\frac12\).