Ответ:

В действительных причастиях настоящего времени перед суффиксами -ущ-/-ющ- и -ащ-/-ящ- определяем спряжение глагола: у глаголов I спряжения пишутся -ущ-/-ющ-, у глаголов II спряжения — -ащ-/-ящ-.

  1. Дремлющий старик — от глагола «дремать» (I спряжение), суффикс -ющ-.
  2. Видящий цель — от глагола «видеть» (исключение, II спряжение), суффикс -ящ-.
  3. Плачущий малыш — от глагола «плакать» (I спряжение), суффикс -ущ-.
  4. Числящийся в штате — от глагола «числиться» (II спряжение), суффикс -ящ-.
  5. Ненавидящий ложь — от глагола «ненавидеть» (исключение, II спряжение), суффикс -ящ-. «Ненавидеть» пишется с не слитно, поскольку без него слово не употребляется.
  6. Алый закат — здесь требуется прилагательное «алый», а не причастие; в исходном слове пропущена буква ы.
  7. Примеряющий ботинки — от глагола «примерять» (I спряжение), суффикс -ющ-. Значение — подбирающий размер, надевая для проверки.