3. \(\sqrt{x-2}-x^2\cdot\sqrt{x-2}=0\)

Решение:

1. Вынесем общий множитель \( \sqrt{x-2} \) за скобки: \( \sqrt{x-2} (1 - x^2) = 0 \)
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
3. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( \sqrt{x-2} = 0 \)
• Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x-2 = 0 \)
• Отсюда \( x = 2 \).
• Проверим условие существования квадратного корня: \( x-2 \ge 0 \), \( 2-2 = 0 \ge 0 \). Условие выполняется.
• Случай 2: \( 1 - x^2 = 0 \)
• Это разность квадратов: \( (1-x)(1+x) = 0 \)
• Отсюда \( 1-x = 0 \) или \( 1+x = 0 \)
• \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
• Проверим условие существования квадратного корня \( x-2 \ge 0 \) для каждого значения:
• Для \( x = 1 \): \( 1-2 = -1 \). Условие не выполняется, так как под корнем не может быть отрицательное число.
• Для \( x = -1 \): \( -1-2 = -3 \). Условие не выполняется.

Ответ: x = 2.