3. Сторона АС равностороннего треугольника АВС продолжена за точку С на длину CD = АС. Медиана СМ треугольника BCD равна 6 см. Найдите сторону треугольника АВС.

Разбор задачи

Мы имеем равносторонний треугольник ABC. Это значит, что все его стороны равны (AB = BC = AC) и все углы равны 60 градусам.

Сторона AC продолжена за точку C на длину CD, так что CD = AC. Это означает, что отрезок BD состоит из двух равных частей: BC и CD.

CM — это медиана в треугольнике BCD. Медиана делит противоположную сторону пополам. В нашем случае, медиана CM делит сторону BD. Это значит, что BM = MD.

Нам дана длина медианы CM = 6 см. Нужно найти длину стороны треугольника ABC.

Решение

1. Анализ треугольника BCD:

• Мы знаем, что BC = AC (из условия, что ABC — равносторонний).
• Также знаем, что CD = AC (по условию).
• Следовательно, BC = CD. Это значит, что треугольник BCD является равнобедренным.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию (BD), является также высотой и биссектрисой. Значит, CM перпендикулярна BD, и угол CMB = 90 градусов.

2. Работа с прямоугольным треугольником CMB:

• Мы знаем, что CM = 6 см.
• Поскольку CM — медиана, она делит сторону BD пополам: BM = MD.
• Также, так как BC = CD, то точка C лежит посередине отрезка BD. Это значит, что CM является и медианой, и высотой, и биссектрисой.
• Значит, CM делит BD пополам, т.е. BM = MC = 6 см.
• Сторона BC в равнобедренном треугольнике BCD является гипотенузой прямоугольного треугольника CMB.
• По теореме Пифагора: \( BC^2 = BM^2 + CM^2 \)
• Подставим известные значения: \( BC^2 = 6^2 + 6^2 \)
• \( BC^2 = 36 + 36 \)
• \( BC^2 = 72 \)
• \( BC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) см.

3. Нахождение стороны треугольника ABC:

• Мы знаем, что треугольник ABC — равносторонний, поэтому все его стороны равны: AB = BC = AC.
• Мы нашли, что BC = \( 6\sqrt{2} \) см.
• Следовательно, сторона треугольника ABC равна \( 6\sqrt{2} \) см.

Ответ: сторона треугольника ABC равна \( 6\sqrt{2} \) см.