3. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна √2 см, а её диагональ составляет с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

Обозначим:

• a — сторона основания правильной четырехугольной призмы.
• h — высота призмы.
• d — диагональ боковой грани.
• D — диагональ призмы.
• \(\alpha\) — угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

По условию:

• \( a = \sqrt{2} \) см.
• \(\alpha = 30^{\circ}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы \( D \), диагональю основания \( d_{осн} \) и высотой призмы \( h \). Диагональ основания \( d_{осн} \) равна:

\[ d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]\[ d_{осн} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \) см.

Диагональ призмы \( D \) находится из прямоугольного треугольника, где один катет — диагональ основания \( d_{осн} \), а второй катет — высота призмы \( h \). Гипотенузой является диагональ призмы \( D \).

Диагональ боковой грани \( d \) равна:

\[ d = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{2 + h^2} \]

Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен \( 30^{\circ} \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы \( D \), диагональю основания \( d_{осн} \) и высотой призмы \( h \). Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен \(\beta\). Тогда \(\text{tg}(\beta) = \frac{h}{d_{осн}} \).

Однако, условие задачи говорит об угле между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. Пусть \( L \) - диагональ призмы. Пусть \( P \) - точка на одной из вершин основания, \( Q \) - соответствующая точка на противоположном верхнем основании, \( R \) - точка на боковой грани, так что \( PR \) - диагональ основания, \( PQ \) - диагональ призмы. Угол между \( PQ \) и плоскостью боковой грани. Это сложнее. Давайте переформулируем задачу.

Используем диагональ призмы \( D \), диагональ основания \( d_{осн} = 2 \) см, и высоту \( h \). По теореме Пифагора: \( D^2 = d_{осн}^2 + h^2 = 2^2 + h^2 = 4 + h^2 \).

Теперь рассмотрим диагональ \( D \) и плоскость боковой грани. Пусть \( K \) — точка на ребре, соединяющем основания, и \( L \) — точка на этом ребре. \( KL \) — высота \( h \). Пусть \( M \) — точка на диагонали основания, такая что \( LM \) — перпендикуляр к боковой грани. Угол между \( D \) и плоскостью боковой грани. Это сложная геометрия.

Переосмыслим условие: \( \text{угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани} = 30^\text{o} \).

Пусть \( A \) - вершина нижнего основания, \( C_1 \) - противоположная вершина верхнего основания. \( AC_1 = D \) - диагональ призмы.

Пусть \( B \) - вершина нижнего основания, так что \( AB = a = √2 \).

Рассмотрим грань \( ABB_1A_1 \). Диагональ основания \( AC \) равна \( √2 \times √2 = 2 \). Диагональ призмы \( D = AC_1 = √(AC^2 + CC_1^2) = √(2^2 + h^2) = √(4 + h^2) \).

Теперь рассмотрим угол с плоскостью боковой грани. Пусть \( O \) — центр основания. Рассмотрим точку \( A \) и ее проекцию на боковую грань. Это нетривиально.

Проверим альтернативный подход. Пусть \( D \) — диагональ призмы. \( d_{осн} \) — диагональ основания. \( h \) — высота. \( D^2 = d_{осн}^2 + h^2 \).

Диагональ боковой грани \( d_{грани} = √(a^2 + h^2) = √(2 + h^2) \).

Угол между диагональю призмы \( D \) и плоскостью боковой грани. Представим себе эту ситуацию. Пусть \( AC_1 \) - диагональ призмы. Пусть \( A \) - точка нижнего основания, \( C_1 \) - точка верхнего. Плоскость боковой грани, например \( ABB_1A_1 \).

Пусть \( P \) - проекция \( C_1 \) на плоскость \( ABB_1A_1 \). Тогда \( ∠ C_1AP = 30^\text{o} \). Это не так, \( P \) будет точка \( A_1 \) или \( B_1 \).

Попробуем геометрически. Пусть \( O \) — центр основания. \( O_1 \) — центр верхнего основания. \( AO_1 \) — диагональ призмы \( D \).

Рассмотрим диагональ боковой грани. Пусть \( AB_1 \) — диагональ боковой грани \( ABB_1A_1 \). \( AB_1 = √(a^2 + h^2) = √(2 + h^2) \).

Угол между диагональю призмы \( D \) и плоскостью боковой грани. Пусть \( D \) — диагональ призмы, идущая из вершины \( A \) в \( C_1 \). Плоскость боковой грани \( ABB_1A_1 \). Проекция \( C_1 \) на эту плоскость — точка \( B_1 \). Тогда угол между \( AC_1 \) и \( AB_1 \) не является искомым углом. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть \( A \) - одна вершина основания. \( C_1 \) - противоположная вершина верхнего основания. \( AC_1 \) - диагональ призмы. \( AC \) - диагональ основания. \( AC = 2 \).

Рассмотрим боковую грань \( ABB_1A_1 \). Проекция \( C_1 \) на эту плоскость — точка \( B_1 \) (если \( A \) и \( B \) — смежные вершины, \( AB \) — сторона основания). Тогда \( AB_1 \) — проекция \( AC_1 \) на плоскость \( ABB_1A_1 \) лишь при определенных условиях.

Давайте возьмем другой подход. Пусть \( D \) — диагональ призмы. \( h \) — высота. \( d_{осн} \) — диагональ основания \( = 2 \).

В прямоугольном треугольнике \( Δ AC_1C \), где \( C \) - вершина основания, \( AC \) - диагональ основания \( = 2 \), \( CC_1 = h \), \( AC_1 = D \). \( D = √(AC^2 + h^2) = √(4 + h^2) \).

Теперь рассмотрим угол \(\alpha = 30^\text{o}\) между \( D \) и плоскостью боковой грани. Возьмем боковую грань \( ACC_1A_1 \). Ее диагональ \( AC_1 \) — это диагональ призмы. Диагональ этой грани \( AC_1 \) совпадает с диагональю призмы.

Нам дан угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. Возьмем диагональ призмы, идущую из вершины \( A \) в \( C_1 \). Рассмотрим боковую грань \( ABB_1A_1 \). Проекция \( C_1 \) на эту плоскость — это \( B_1 \) (если \( AB \) — сторона основания, \( A \) и \( B \) — вершины). Тогда \( AB_1 \) — проекция \( AC_1 \) на плоскость \( ABB_1A_1 \).

Угол \( ∠ C_1AB_1 = 30^\text{o} \). В прямоугольном треугольнике \( Δ C_1AB_1 \), \( C_1B_1 = h \) (высота призмы), \( AB_1 \) — диагональ грани, \( AB_1 = √(a^2 + a^2) = √(2+2) = 2 \).

В прямоугольном треугольнике \( Δ C_1AB_1 \), \( \text{tg}(∠ C_1AB_1) = \frac{C_1B_1}{AB_1} \). Это неверно. \( C_1AB_1 \) не является прямоугольным треугольником.

В прямоугольном треугольнике \( Δ AC_1C \) (где \( C \) — вершина основания, \( AC \) — диагональ основания, \( CC_1 \) — высота): \( D = AC_1 \), \( AC = 2 \), \( h = CC_1 \). \( D^2 = 4 + h^2 \).

Теперь рассмотрим угол между \( D \) и плоскостью боковой грани. Возьмем боковую грань \( ABB_1A_1 \). Опустим перпендикуляр из \( C_1 \) на эту плоскость. Пусть \( P \) — основание перпендикуляра. Тогда \( AP \) — проекция \( AC_1 \) на плоскость \( ABB_1A_1 \). Угол \( ∠ C_1AP = 30^\text{o} \).

В прямоугольном треугольнике \( Δ AC_1C \) (прямой угол при \( C \)), \( D = AC_1 \), \( AC = 2 \), \( h = CC_1 \). \( D^2 = 4 + h^2 \).

Рассмотрим плоскость боковой грани, скажем \( AB B_1 A_1 \). Пусть \( A=(0,0,0) \), \( B=(\sqrt{2},0,0) \), \( D=(0,\sqrt{2},0) \), \( C=(\sqrt{2},\sqrt{2},0) \).

Тогда \( A_1=(0,0,h) \), \( C_1=(\sqrt{2},\sqrt{2},h) \). Диагональ призмы \( AC_1 = √((√2-0)^2 + (√2-0)^2 + (h-0)^2) = √(2 + 2 + h^2) = √(4+h^2) \).

Диагональ основания \( AC = √((√2)^2 + (√2)^2) = √(2+2) = 2 \).

Плоскость боковой грани \( ABB_1A_1 \) — это плоскость \( y=0 \). Проекция \( C_1=(\sqrt{2},\sqrt{2},h) \) на плоскость \( y=0 \) — это точка \( P=(\sqrt{2},0,h) \). Тогда \( AP = √((√2)^2 + 0^2 + h^2) = √(2+h^2) \).

Угол между \( AC_1 \) и \( AP \) равен \( 30^\text{o} \). В прямоугольном треугольнике \( Δ AC_1P \) (прямой угол при \( P \) — нет, не при \( P \)).

В прямоугольном треугольнике \( Δ AC_1P \), \( C_1P = √2 \) (расстояние от \( C_1 \) до плоскости \( y=0 \)). \( AC_1 = D = √(4+h^2) \). \( AP = √(2+h^2) \).

Используем \( \text{sin}(30^\text{o}) = \frac{C_1P}{AC_1} \).

\[ \sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{D} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{D} \]\[ D = 2\sqrt{2} \) см.

Теперь найдем высоту \( h \) из \( D^2 = 4 + h^2 \):

\[ (2\sqrt{2})^2 = 4 + h^2 \]\[ 8 = 4 + h^2 \]\[ h^2 = 4 \]\[ h = 2 \) см.

Объем призмы \( V \) равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{осн} \times h \]\[ S_{осн} = a^2 = \(\sqrt{2}\)^2 = 2 \) см².

\[ V = 2 \(\times\) 2 = 4 \) см³.

Ответ: 4 см³.