3. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 9, √19 и 7 соответственно. Чему равен синус угла между прямыми B₁C₁ и BD?

Направление прямой B₁C₁ совпадает с направлением ребра AD, а длина B₁C₁ равна √19.

В основании параллелепипеда диагональ BD образует с ребром AD прямоугольный треугольник с катетами AB = 9 и AD = √19. Поэтому BD = √(9² + (√19)²) = √100 = 10.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах направления этих прямых, равна 9√19. Следовательно, синус угла между прямыми равен отношению этой площади к произведению длин векторов: sin α = (9√19)/(10√19) = 9/10.

Ответ: 9/10.