3. Теплоход проходил 176 км и после остановки на 1 час отправился обратно в пункт А. Найти отношение времени теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки = 3 км/ч, а в пункт А теплоход возвращается через 20 часа после отплытия.

Дано:

S = 176 км

t_ост = 1 час

v_теч = 3 км/ч

t_общ = 20 часов

Найти:

v_тепл / t_тепл

Решение:

1. Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде за \( v \) км/ч.
2. Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.
4. Время движения по течению: \( t₁ = \frac{176}{v + 3} \) часа.
5. Время движения против течения: \( t₂ = \frac{176}{v - 3} \) часа.
6. Общее время в пути с учетом остановки: \( t₁ + t₂ + t_ост = t_общ \).
7. \( \frac{176}{v + 3} + \frac{176}{v - 3} + 1 = 20 \)
8. \( \frac{176}{v + 3} + \frac{176}{v - 3} = 19 \)
9. Приведём к общему знаменателю: \( 176(v - 3) + 176(v + 3) = 19(v^2 - 9) \)
10. \( 176v - 528 + 176v + 528 = 19v^2 - 171 \)
11. \( 352v = 19v^2 - 171 \)
12. \( 19v^2 - 352v - 171 = 0 \)
13. Найдем дискриминант: \( D = (-352)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-171) = 123904 + 12996 = 136900 \)
14. \( \sqrt{D} = \sqrt{136900} = 370 \)
15. Найдем скорость теплохода: \( v = \frac{352 \pm 370}{2 \cdot 19} \)
16. \( v₁ = \frac{352 + 370}{38} = \frac{722}{38} = 19 \) км/ч.
17. \( v₂ = \frac{352 - 370}{38} = \frac{-18}{38} \) (отрицательная скорость не имеет смысла).
18. Время движения теплохода: \( t₁ = \frac{176}{19 + 3} = \frac{176}{22} = 8 \) часов. \( t₂ = \frac{176}{19 - 3} = \frac{176}{16} = 11 \) часов.
19. Отношение скорости теплохода к времени его движения: \( \frac{v}{t₁ + t₂} = \frac{19}{8 + 11} = \frac{19}{19} = 1 \)

Ответ: 1