3. Тип 1 № 685345. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой. ИЛИ: Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 3, AD = 9, AA₁ = 4. ИЛИ: В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? ИЛИ: Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.

Вариант 1. Объём цилиндра пропорционален квадрату радиуса основания и высоте: V = πr²h. Если высота первой кружки вдвое больше высоты второй, то h₂/h₁ = 1/2. Ширина второй кружки в полтора раза больше, значит r₂/r₁ = 3/2.

V₂/V₁ = (r₂/r₁)² · (h₂/h₁) = (3/2)² · 1/2 = 9/8.

Ответ: 9/8.

Вариант 2. Основание многогранника — прямоугольник ABCD площадью AB · AD = 3 · 9 = 27. Высота пирамиды равна AA₁ = 4.

V = 1/3 · 27 · 4 = 36.

Ответ: 36 кубических единиц.

Вариант 3. Уровень жидкости образует конус, подобный всему сосуду. При отношении высот 1/3 отношение объёмов равно (1/3)³ = 1/27. Поэтому полный объём сосуда равен 4 · 27 = 108 мл.

Нужно долить: 108 − 4 = 104 мл.

Ответ: 104 мл.

Вариант 4. Центр сферы находится в центре основания конуса. Поэтому радиус основания и высота конуса равны радиусу сферы R: все точки окружности основания и вершина удалены от центра сферы на R. По теореме Пифагора для образующей l: l² = R² + R² = 2R². Так как l = 9√2, то 162 = 2R², откуда R² = 81 и R = 9.

Ответ: 9.