3. Тип 16 № 1040 В правильном тетраэдре ДАВС, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD.

Решение:

Задача сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости в правильном тетраэдре. Пусть M — середина ребра DC. Нам нужно найти расстояние от точки M до плоскости ABD.

1. Введем систему координат.
   Поместим вершину D в начало координат (0, 0, 0). Пусть ребро DA лежит вдоль оси OX, DB — вдоль оси OY, а DC — вдоль оси OZ. Это не совсем удобно для правильного тетраэдра. Лучше выбрать другую систему координат.
2. Выберем более подходящую систему координат.
   Пусть вершина D находится в начале координат (0, 0, 0). Одно из ребер, например DA, направим вдоль оси OX. Тогда координаты вершины A будут (4, 0, 0).
3. Найдем координаты остальных вершин.
   Для правильного тетраэдра все грани — равносторонние треугольники. Угол между любыми двумя ребрами, исходящими из одной вершины, равен 60 градусам.
4. Определение плоскости ABD.
   Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, D.
5. Расстояние от точки до плоскости.
   Формула расстояния от точки (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: $$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
6. Геометрический подход.
   В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины на противоположную грань, проходит через центр этой грани.
7. Положение точки M.
   Точка M — середина ребра DC.
8. Расстояние от середины ребра до плоскости грани.
   Поскольку тетраэдр правильный, плоскость ABD является одной из граней. Расстояние от точки M (середины ребра DC) до плоскости ABD нам и нужно найти.
9. Вычисление.
   Пусть O — центр основания ABD. Расстояние от вершины C до плоскости ABD — это высота тетраэдра h. Точка M лежит на ребре DC.
10. Симметрия.
    В силу симметрии правильного тетраэдра, расстояние от середины ребра, не принадлежащего плоскости, до этой плоскости равно половине расстояния от противолежащей вершины до этой плоскости, если ребро параллельно плоскости. Но ребро DC не параллельно плоскости ABD.
11. Переформулируем задачу.
    Можно использовать векторное произведение для нахождения нормали к плоскости ABD.
12. Координаты вершин.
    Пусть D = (0,0,0). A = (4,0,0). B = (2, $$2\sqrt{3}$$, 0). C = (2, $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$, $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$).
13. Середина DC.
    M = (1, $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$).
14. Нормаль к плоскости ABD.
    Плоскость ABD лежит в плоскости XY (Z=0). Нормаль к ней — вектор (0,0,1).
15. Расстояние от M до плоскости Z=0.
    Расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до плоскости Z=0 равно |z₀|.
16. Итог.
    Расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD равно координате z середины ребра DC.
17. Вычисление координаты z для C.
    Высота правильного тетраэдра со стороной $$a=4$$ равна $$h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$.
18. Координаты вершин правильного тетраэдра.
    Пусть центр основания лежит в начале координат.
19. Более простой подход.
    Пусть O — центр равностороннего треугольника ABD. Расстояние от C до плоскости ABD — это высота тетраэдра.
20. Рассмотрим проекцию.
    Проекция точки C на плоскость ABD — это точка O.
21. Положение M.
    M — середина DC.
22. Расстояние от M до плоскости ABD.
    Пусть h_c — высота тетраэдра, то есть расстояние от C до плоскости ABD. Тогда расстояние от M до плоскости ABD будет h_c/2.
23. Вычисление высоты тетраэдра.
    Высота правильного тетраэдра со стороной $$a$$ равна $$h = a rac{\sqrt{6}}{3}$$.
24. Подставляем значение a=4.
    $$h = 4 rac{\sqrt{6}}{3}$$.
25. Расстояние от M.
    Расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD равно $$\frac{1}{2} h = \frac{1}{2} \cdot 4 rac{\sqrt{6}}{3} = 2 rac{\sqrt{6}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$