3. Тип 3 i Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 1 меньше первой.

Решение:

Пусть задуманное двузначное число состоит из цифр 'a' (десятки) и 'b' (единицы). Тогда число можно записать как 10a + b.

Число, полученное при перестановке цифр, будет 10b + a.

По условию, вторая цифра (b) на 1 меньше первой (a), то есть b = a - 1.

Сумма квадратов этих чисел равна 585:

• (10a + b)² + (10b + a)² = 585

Подставим b = a - 1:

• (10a + (a - 1))² + (10(a - 1) + a)² = 585

• (11a - 1)² + (10a - 10 + a)² = 585

• (11a - 1)² + (11a - 10)² = 585

Раскроем скобки:

• (121a² - 22a + 1) + (121a² - 220a + 100) = 585

• 242a² - 242a + 101 = 585

• 242a² - 242a - 484 = 0

Разделим всё на 242:

• a² - a - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

a₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2.

a₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.

Поскольку 'a' — это цифра двузначного числа, она должна быть положительной. Следовательно, a = 2.

Теперь найдем 'b': b = a - 1 = 2 - 1 = 1.

Задуманное число: 10a + b = 10 * 2 + 1 = 21.

Проверим:

• Задуманное число: 21. Число с переставленными цифрами: 12.
• 21² + 12² = 441 + 144 = 585. Условие выполняется.

Ответ: 21