3 Тип З № 25601 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Для нахождения площади поверхности многогранника разобьём его на простые фигуры или найдём площадь каждой грани.

Даны размеры: 3, 5, 2, 1.

Разобьём фигуру на два прямоугольных параллелепипеда:

1. Большой параллелепипед с размерами 5 × 3 × 2.
2. Меньший параллелепипед, который является вырезом, с размерами (5-?) × (3-?) × 1.

Рассмотрим грани:

• Нижняя грань: 5 × 3 = 15.
• Верхняя грань: Состоит из двух частей: 5 × 2 = 10 (большая часть) и 1 × 2 = 2 (меньшая часть, выступающая). Всего 10 + 2 = 12.
• Боковые грани:
• Две грани размером 5 × 3. Площадь = 2 * (5 * 3) = 30.
• Две грани размером 3 × 2. Площадь = 2 * (3 * 2) = 12.
• Две грани размером 2 × 1. Площадь = 2 * (2 * 1) = 4.

Альтернативный подход:

Можно представить, что мы имеем дело с большим параллелепипедом, из которого вырезан меньший объем.

Размеры большого параллелепипеда: длина = 5, ширина = 3, высота = 2+1 = 3. (На рисунке показано: 5, 3, и сверху 2+1=3)

Площадь поверхности большого параллелепипеда = 2 * (5*3 + 5*3 + 3*3) = 2 * (15 + 15 + 9) = 2 * 39 = 78.

Это неверный подход, так как часть поверхности скрыта.

Рассмотрим грани по отдельности:

1. Нижняя плоскость: 5 × 3 = 15
2. Передняя и задняя плоскости: 2 × 3 (большая часть) + 1 × 2 (меньшая часть) = 6 + 2 = 8. Всего 2 * 8 = 16.
3. Боковые плоскости: 5 × 3 (большая часть) + 2 × 1 (меньшая часть) = 15 + 2 = 17. Всего 2 * 17 = 34.
4. Верхняя плоскость: 5 × 2 = 10 (большая часть) + 2 × 1 (выступ) = 10 + 2 = 12.

Суммируем площади всех граней:

Площадь = (Нижняя) + (Передняя + Задняя) + (Боковые) + (Верхняя)

Площадь = 15 + 16 + 34 + 12 = 77.

Проверка:

Можно разбить на:

• Нижняя часть: 5x3 (низ) + 2x5 (перед/зад) + 2x3 (бока) = 15 + 10 + 6 = 31.
• Верхняя часть: 5x2 (верх) + 2x5 (перед/зад) + 2x1 (бока) = 10 + 10 + 2 = 22.
• Выступ: 2x1 (верх) + 2x2 (перед/зад) + 2x1 (бока) = 2 + 4 + 2 = 8.

Сумма = 31 + 22 + 8 = 61. Это неверно.

Вернёмся к правильному подходу:

Все грани, кроме тех, что были