3. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 2 : 5. Вычислите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\vec p=\overrightarrow{AB}\), \(\vec q=\overrightarrow{AD}\).

Так как \(AK=KB\), точка K — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{CD}=-\vec p\). Из отношения \(CM:MD=2:5\) следует, что \(\overrightarrow{CM}=\frac27\overrightarrow{CD}=-\frac27\vec p\).

Выразим вектор из A в M:

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=(\vec p+\vec q)-\frac27\vec p=\frac57\vec p+\vec q\).

Тогда

\(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AK}=-(\frac57\vec p+\vec q)+\frac12\vec p=-\frac{3}{14}\vec p-\vec q\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=-\frac{3}{14}\vec p-\vec q\).