3. Точка К является серединой отрезков АВ и СД. Докажите, что АС параллельна DB.

Задание 3

Дано: Точка \( K \) — середина отрезков \( AB \) и \( CD \).

Доказать: \( AC \parallel DB \).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle AKC \) и \( \triangle BKD \).

1. \( AK = KB \) (так как \( K \) — середина \( AB \), по условию).
2. \( CK = KD \) (так как \( K \) — середина \( CD \), по условию).
3. \( \angle AKC = \angle BKD \) (как вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AKC = \triangle BKD \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle KAC = \angle KBD \).

Углы \( \angle KAC \) и \( \angle KBD \) являются накрест лежащими при прямых \( AC \) и \( DB \) и секущей \( AB \).

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( AC \) и \( DB \) параллельны.

\( AC \parallel DB \).

Что и требовалось доказать.