3. Точка О является серединой стороны CD квадрата АBCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен √10. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Точка О — середина стороны CD, значит, OD = OC = \( \frac{a}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Гипотенуза AD равна стороне квадрата, то есть a. Катет OD равен \( \frac{a}{2} \).

По условию, радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен \( \sqrt{10} \). Это расстояние OA.

В прямоугольном треугольнике AOD, по теореме Пифагора:

\( AO^2 = AD^2 + OD^2 \)

\( (\sqrt{10})^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\( 10 = a^2 + \frac{a^2}{4} \)

\( 10 = \frac{5a^2}{4} \)

\( a^2 = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8 \)

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

Ответ: 8.