3. Точки A и B принадлежат плоскости α, а точка C не принадлежит плоскости α. Докажите, что прямая, проходящая через середины AC и BC, параллельна плоскости α.

Обозначим середины отрезков AC и BC соответственно M и N.

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому по теореме о средней линии треугольника MN ∥ AB.
2. Так как A и B принадлежат плоскости α, прямая AB лежит в плоскости α.
3. Точка M не принадлежит плоскости α: иначе прямая CM, совпадающая с AC, лежала бы в плоскости α, а значит, и C принадлежала бы α, что противоречит условию. Следовательно, MN не лежит в α.

Прямая MN параллельна прямой AB, лежащей в плоскости α, и сама не лежит в этой плоскости. Значит, MN параллельна плоскости α.

Ответ: прямая MN параллельна плоскости α.