3. Точки M и K являются соответственно серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Через вершину C вне треугольника проведена прямая, параллельная AB и пересекающая луч MK в точке E. Докажите, что KE = AC : 2.

Обозначим через \(\vec{AB}=\mathbf b\), \(\vec{AC}=\mathbf c\), приняв точку A за начало отсчёта.

1. Так как M — середина AB, \(\vec{AM}=\frac12\mathbf b\). Так как K — середина BC, \(\vec{AK}=\frac12(\mathbf b+\mathbf c)\).
2. Тогда \(\vec{MK}=\vec{AK}-\vec{AM}=\frac12\mathbf c\). Значит, луч MK имеет направление вектора \(\vec{AC}\).
3. Поскольку E лежит на этом луче, \(\vec{ME}=t\mathbf c\) для некоторого \(t\geq0\). Прямая через C, параллельная AB, состоит из точек вида \(\mathbf c+s\mathbf b\). С другой стороны, \(\vec{AE}=\frac12\mathbf b+t\mathbf c\). Приравнивая выражения для E и учитывая, что \(\mathbf b\) и \(\mathbf c\) не параллельны, получаем \(s=\frac12\) и \(t=1\).
4. Поэтому \(\vec{KE}=\vec{AE}-\vec{AK}=\left(\frac12\mathbf b+\mathbf c\right)-\frac12(\mathbf b+\mathbf c)=\frac12\mathbf c\). Следовательно, \(KE=\frac12 AC\).

Ответ: \(KE=AC:2\).