3. Трапеция ABCD является основанием пирамиды SABCD (AD ∥ BC). Известно, что BC : AD = 1 : 4. Точки M и K — середины рёбер SA и SB соответственно. В каком отношении плоскость DMK делит ребро SC?

Обозначим точку пересечения плоскости DMK с ребром SC через P.

Выберем S за начало координат и обозначим радиус-векторы вершин основания через a, b, c, d. Так как AD ∥ BC и BC : AD = 1 : 4, то c = b + (d − a)/4.

В координатах по векторам a, b, d точки D, M и K имеют координаты (0, 0, 1), (1/2, 0, 0) и (0, 1/2, 0). Поэтому уравнение плоскости DMK имеет вид 2x + 2y + z = 1.

Поскольку P лежит на SC, его радиус-вектор равен t c. Из выражения для c координаты P равны (−t/4, t, t/4). Подставим их в уравнение плоскости: −t/2 + 2t + t/4 = 1, откуда 7t/4 = 1 и t = 4/7.

Значит, SP/SC = 4/7, а PC/SC = 3/7.

Ответ: SP : PC = 4 : 3.