3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, BM и CE — медианы треугольника. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный, где O — точка пересечения медиан треугольника.

Так как ABC равнобедренный с основанием AC, имеем AB = BC. Медиана BM проведена к основанию AC, поэтому M — середина AC.

В треугольниках ABM и CBM: AB = BC, AM = CM, а BM — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Значит, \(\angle AMB=\angle BMC\). Эти углы смежные, поэтому каждый равен 90°; следовательно, BM ⟂ AC.

Точка O — точка пересечения медиан, значит, она лежит на медиане BM. Поскольку BM является серединным перпендикуляром к AC, любая её точка равноудалена от A и C. Поэтому OA = OC.

Ответ: треугольник AOC равнобедренный, OA = OC.