3. Треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. LADB = 100°. Найдите величину угла С.

Решение:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то углы при основании равны: \( \angle CAB = \angle CBA \).

AD — биссектриса \( \angle CAB \), а BD — биссектриса \( \angle CBA \). Следовательно, \( \angle DAB = \angle CAB / 2 \) и \( \angle DBA = \angle CBA / 2 \).

Так как \( \angle CAB = \angle CBA \), то \( \angle DAB = \angle DBA \).

Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в нем равна 180°:

\[ \angle DAB + \angle DBA + \angle ADB = 180^\circ \]

По условию \( \angle ADB = 100^\circ \). Подставим это значение:

\[ \angle DAB + \angle DBA + 100^\circ = 180^\circ \]\[ \angle DAB + \angle DBA = 180^\circ - 100^\circ \]\[ \angle DAB + \angle DBA = 80^\circ \]

Так как \( \angle DAB = \angle DBA \), то:

\[ 2 \angle DAB = 80^\circ \]\[ \angle DAB = \frac{80^\circ}{2} \]\[ \angle DAB = 40^\circ \]

Значит, \( \angle DBA = 40^\circ \).

Теперь найдем углы при основании треугольника ABC:

\[ \angle CAB = 2 \cdot \angle DAB = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \]\[ \angle CBA = 2 \cdot \angle DBA = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \]

Угол при вершине C найдем, используя сумму углов треугольника ABC:

\[ \angle C = 180^\circ - (\angle CAB + \angle CBA) \]\[ \angle C = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) \]\[ \angle C = 180^\circ - 160^\circ \]\[ \angle C = 20^\circ \]

Ответ: 20°.