3) \(\triangle ABC\) \(AC = BC = 2\sqrt{2}\) \(\angle C = 45^{\circ}\) \(AH \perp BC\) \(AH = ?\)

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с \(AC = BC\) и \(\angle C = 45^{\circ}\). Высота \(AH\) проведена к основанию \(BC\).

1. Так как \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным.
2. Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\).
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\).
4. \(2\angle A + 45^{\circ} = 180^{\circ}\)
5. \(2\angle A = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\)
6. \(\angle A = \angle B = \frac{135^{\circ}}{2} = 67.5^{\circ}\).
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AHC\). \(\angle C = 45^{\circ}\), \(\angle AHC = 90^{\circ}\).
8. \(\angle HAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\).
9. Следовательно, треугольник \(AHC\) — равнобедренный прямоугольный, \(AH = HC\).
10. Мы знаем, что \(AC = 2\sqrt{2}\). По теореме Пифагора в \(\triangle AHC\): \(AH^2 + HC^2 = AC^2\).
11. Так как \(AH = HC\), то \(2AH^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\).
12. \(AH^2 = \frac{8}{2} = 4\).
13. \(AH = \sqrt{4} = 2\).

Ответ: AH = 2.