3) \(\triangle ABC\) <br> \(AC=BC=2\sqrt{2}\) <br> \(\angle C = 45^{\circ}\) <br> \(AH \perp BC\) <br> \(AH = ?\)

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AC = BC = 2\sqrt{2}\) и \(\angle C = 45^{\circ}\). Проведена высота \(AH\) к стороне \(BC\).

В прямоугольном треугольнике \(AHC\) (угол \(H=90^{\circ}\)):

1. \(\angle C = 45^{\circ}\)
2. \(\angle CAH = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\)
3. Так как \(\angle C = \angle CAH = 45^{\circ}\), треугольник \(AHC\) является равнобедренным, и \(AH = HC\).
4. По теореме Пифагора для \(\triangle AHC\): \(AH^2 + HC^2 = AC^2\).
5. Поскольку \(AH = HC\), имеем: \(2 \cdot AH^2 = AC^2\).
6. Подставляем значение \(AC = 2\sqrt{2}\): \(2 \cdot AH^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\).
7. \(AH^2 = \frac{8}{2} = 4\).
8. \(AH = \sqrt{4} = 2\).

Ответ: \(AH = 2\).