3.) Угол АОВ, равный 124°, лучом ОС разделен на два угла, разность которых равна 34°. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом ОС и биссектрисой угла АОВ.

Решение:

Угол \( \angle AOB = 124^{\circ} \). Луч ОС делит его на два угла: \( \angle AOC \) и \( \angle COB \).

Пусть \( \angle AOC = x^{\circ} \). Тогда \( \angle COB = y^{\circ} \).

По условию:

1. \( x + y = 124 \)
2. \( |x - y| = 34 \). Предположим, \( x > y \), тогда \( x - y = 34 \).

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 124 \\ x - y = 34 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\[ (x + y) + (x - y) = 124 + 34 \]

\[ 2x = 158 \]

\[ x = \frac{158}{2} = 79 \]

Подставим \( x \) в первое уравнение:

\[ 79 + y = 124 \]

\[ y = 124 - 79 = 45 \]

Значит, \( \angle AOC = 79^{\circ} \) и \( \angle COB = 45^{\circ} \).

Теперь найдём угол между лучом ОС и биссектрисой угла АОВ. Биссектриса делит угол АОВ пополам. Угол, образованный биссектрисой и стороной AO, равен \( \frac{124^{\circ}}{2} = 62^{\circ} \).

Угол между лучом ОС и биссектрисой равен разности между половиной угла \( \angle AOB \) и \( \angle AOC \) (или \( \angle COB \)), смотря какой угол мы возьмём.

Если угол между биссектрисой и AO равен \( 62^{\circ} \), а \( \angle AOC = 79^{\circ} \), то угол между ОС и биссектрисой равен \( |79^{\circ} - 62^{\circ}| = 17^{\circ} \).

Или, если угол между биссектрисой и AO равен \( 62^{\circ} \), а \( \angle COB = 45^{\circ} \), то угол между биссектрисой и CO равен \( |62^{\circ} - 45^{\circ}| = 17^{\circ} \). Это неверно, т.к. \( \text{биссектриса} + \text{угол} = 124 \text{ или } \text{сторона} + \text{угол} = 124 \text{.} \)

Давайте переформулируем: биссектриса делит \( \angle AOB \) на два угла по \( 62^{\circ} \).

Угол \( \angle AOC = 79^{\circ} \). Биссектриса проходит через этот угол.

Угол между лучом ОС и биссектрисой \( = \angle AOC - \text{половина} \angle AOB = 79^{\circ} - 62^{\circ} = 17^{\circ} \).

Ответ: углы равны 79° и 45°, угол между лучом ОС и биссектрисой равен 17°.