3. Угол между лучом OM, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен α. Найдите координаты точки M, если: а) OM = 4; α = 60°; б) OM = 8; α = 150°.

Координаты точки, находящейся на расстоянии \(OM\) от начала координат под углом \(\alpha\), вычисляются по формулам:

\(x=OM\cos\alpha\), \(y=OM\sin\alpha\).

а) При \(OM=4\), \(\alpha=60^\circ\):

\(x=4\cos60^\circ=4\cdot\frac12=2\),

\(y=4\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\).

Следовательно, \(M(2;2\sqrt3)\).

б) При \(OM=8\), \(\alpha=150^\circ\):

\(x=8\cos150^\circ=8\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-4\sqrt3\),

\(y=8\sin150^\circ=8\cdot\frac12=4\).

Следовательно, \(M(-4\sqrt3;4)\).

Ответ: а) \(M(2;2\sqrt3)\); б) \(M(-4\sqrt3;4)\).