3. Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60°. Найдите диагонали трапеции, если AD = 16, BC = 12 и CD = 6.

Рассмотрим прямоугольные проекции боковой стороны CD на основания.

1. Горизонтальная проекция стороны CD: \(CD\cos 60^\circ=6\cdot\frac12=3\).
2. Высота трапеции: \(CD\sin 60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\).
3. Для диагонали \(AC\) горизонтальная составляющая равна \(AD-CD\cos60^\circ=16-3=13\). Поэтому \(AC^2=13^2+(3\sqrt3)^2=169+27=196\), откуда \(AC=14\).
4. Для диагонали \(BD\) горизонтальная составляющая равна \(BC+CD\cos60^\circ=12+3=15\). Поэтому \(BD^2=15^2+(3\sqrt3)^2=225+27=252\), откуда \(BD=\sqrt{252}=6\sqrt7\).

Ответ: \(AC=14\), \(BD=6\sqrt7\).