№ 3. Упростить выражение: 1) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\frac{a+b}{4ab}$; 2) $\left(\frac{x-2}{x+2}-\frac{x}{x-2}\right):\frac{x+2}{2-3x}$; 3) $\left(\frac{y-4}{3y-3}+\frac{1}{y-1}\right):\left(\frac{y+1}{3}+\frac{2}{y^2-1}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 3. Упростить выражение: 1) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\frac{a+b}{4ab}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Сначала вычтем дроби: $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2-b^2}{ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$.
Деление на дробь заменим умножением на обратную и сократим: $\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot\frac{4ab}{a+b}=4(a-b)$.
Ограничения: $a\ne0,\ b\ne0,\ a+b\ne0$.
Приведём разность к общему знаменателю:
$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{(x-2)^2-x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{2(2-3x)}{(x+2)(x-2)}$.
Умножим на обратную дробь и сократим:
$\frac{2(2-3x)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{2-3x}{x+2}=\frac{2(2-3x)^2}{(x+2)^2(x-2)}$.
Ограничения: $x\ne-2,\ 2,\ \frac23$.
Упростим первую скобку:
$\frac{y-4}{3y-3}+\frac{1}{y-1}=\frac{y-4}{3(y-1)}+\frac{3}{3(y-1)}=\frac13$.
Приведём вторую скобку к общему знаменателю:
$\frac{y+1}{3}+\frac{2}{y^2-1}=\frac{(y+1)^2+6}{3(y^2-1)}=\frac{y^2+2y+7}{3(y^2-1)}$.
Выполним деление:
$\frac13:\frac{y^2+2y+7}{3(y^2-1)}=\frac{y^2-1}{y^2+2y+7}$.
Ограничения исходного выражения: $y\ne-1,\ 1$.

Ответ: 1) $4(a-b)$; 2) $\frac{2(2-3x)^2}{(x+2)^2(x-2)}$; 3) $\frac{y^2-1}{y^2+2y+7}$.

№ 3. Упростить выражение: 1) \(\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\frac{a+b}{4ab}\); 2) \(\left(\frac{x-2}{x+2}-\frac{x}{x-2}\right):\frac{x+2}{2-3x}\); 3) \(\left(\frac{y-4}{3y-3}+\frac{1}{y-1}\right):\left(\frac{y+1}{3}+\frac{2}{y^2-1}\right)\).