3. Упростить выражение: а) $\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}$; б) $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростить выражение: а) $\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}=\frac{2x(x+4)-x(x+8)-(x^2-16)}{x(x-4)(x+4)}$.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$\frac{2x^2+8x-x^2-8x-x^2+16}{x(x-4)(x+4)}=\frac{16}{x(x^2-16)}$.
Здесь $x\ne 0,4,-4$.
б) Разложим знаменатели: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$. Тогда выражение в скобках равно:
$\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}$.
Подставим и сократим:
$\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0$.
Область допустимых значений: $x\ne -2,2$.

Ответ: а) $\frac{16}{x(x^2-16)}$; б) $0$.

3. Упростить выражение: а) \(\frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}\); б) \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\).