3) Упростите: а) $\frac{y^2-8}{2y+4}\cdot\frac{y^2+4y+4}{y^2+2y+4}$; б) $(a^3+27b^3)\cdot\frac{2}{3a^2-9ab+27b^2}$; в) $\frac{y^2-ay+cy-ac}{y^2-ay-cy+ac}\cdot\frac{y^2-2cy+c^2}{y^2-2ay+a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) Упростите: а) $\frac{y^2-8}{2y+4}\cdot\frac{y^2+4y+4}{y^2+2y+4}$; б) $(a^3+27b^3)\cdot\frac{2}{3a^2-9ab+27b^2}$; в)…$ Фото задания

3) Упростите: а) $\frac{y^2-8}{2y+4}\cdot\frac{y^2+4y+4}{y^2+2y+4}$; б) $(a^3+27b^3)\cdot\frac{2}{3a^2-9ab+27b^2}$; в) $\frac{y^2-ay+cy-ac}{y^2-ay-cy+ac}\cdot\frac{y^2-2cy+c^2}{y^2-2ay+a^2}$.

Accepted Answer

а) В первом числителе на изображении указано $y^2-8$, что не раскладывается с общим множителем знаменателя. Разложим остальные многочлены: $2y+4=2(y+2)$, $y^2+4y+4=(y+2)^2$. Тогда

\[\frac{y^2-8}{2(y+2)}\cdot\frac{(y+2)^2}{y^2+2y+4}=\frac{(y^2-8)(y+2)}{2(y^2+2y+4)}.\]

б) Используем формулу суммы кубов: $a^3+27b^3=(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)$. В знаменателе $3a^2-9ab+27b^2=3(a^2-3ab+9b^2)$. Сокращая общий множитель, получаем $(a+3b)\cdot\frac{2}{3}=\frac{2(a+3b)}{3}$.

в) Группируем слагаемые в числителе и знаменателе первых дробей:

\[y^2-ay+cy-ac=(y-a)(y+c),\qquad y^2-ay-cy+ac=(y-a)(y-c).\]

Также $y^2-2cy+c^2=(y-c)^2$, $y^2-2ay+a^2=(y-a)^2$. Поэтому

\[\frac{(y-a)(y+c)}{(y-a)(y-c)}\cdot\frac{(y-c)^2}{(y-a)^2}=\frac{y+c}{y-a}.\]

Ответ: а) $\frac{(y^2-8)(y+2)}{2(y^2+2y+4)}$; б) $\frac{2(a+3b)}{3}$; в) $\frac{y+c}{y-a}$.

3) Упростите: а) \(\frac{y^2-8}{2y+4}\cdot\frac{y^2+4y+4}{y^2+2y+4}\); б) \((a^3+27b^3)\cdot\frac{2}{3a^2-9ab+27b^2}\); в) \(\frac{y^2-ay+cy-ac}{y^2-ay-cy+ac}\cdot\frac{y^2-2cy+c^2}{y^2-2ay+a^2}\).

Ответ: