3. Упростите алгебраическое выражение: а) $\frac{8x^2y^2}{x^2-y^2}:\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{x+y}\right)$; б) $\frac{1}{2xy^2}-\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{y-x}\right)\cdot\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{y^2}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите алгебраическое выражение: а) $\frac{8x^2y^2}{x^2-y^2}:\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{x+y}\right)$; б)…$ Фото задания

3. Упростите алгебраическое выражение: а) $\frac{8x^2y^2}{x^2-y^2}:\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{x+y}\right)$; б) $\frac{1}{2xy^2}-\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{y-x}\right)\cdot\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{y^2}\right)$.

Accepted Answer

а) Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{x}{x-y}-\frac{x}{x+y}=\frac{x(x+y)-x(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2xy}{x^2-y^2}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:
$\frac{8x^2y^2}{x^2-y^2}:\frac{2xy}{x^2-y^2}=\frac{8x^2y^2}{x^2-y^2}\cdot\frac{x^2-y^2}{2xy}=4xy$.
Исходное выражение определено при $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$, $x\ne-y$.
б) Так как $y-x=-(x-y)$, первая скобка равна:
$\frac{x}{x-y}-\frac{x}{y-x}=\frac{x}{x-y}+\frac{x}{x-y}=\frac{2x}{x-y}$.
Во второй скобке выделим полный квадрат:
$\frac{1}{x^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{y^2}=\frac{(x-y)^2}{x^2y^2}$.
Перемножим скобки:
$\frac{2x}{x-y}\cdot\frac{(x-y)^2}{x^2y^2}=\frac{2(x-y)}{xy^2}$.
Вычтем из первого слагаемого, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{2xy^2}-\frac{2(x-y)}{xy^2}=\frac{1-4(x-y)}{2xy^2}=\frac{1-4x+4y}{2xy^2}$.
Ограничения: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$.

Ответ: а) $4xy$; б) $\frac{1-4x+4y}{2xy^2}$.

3. Упростите алгебраическое выражение: а) \(\frac{8x^2y^2}{x^2-y^2}:\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{x+y}\right)\); б) \(\frac{1}{2xy^2}-\left(\frac{x}{x-y}-\frac{x}{y-x}\right)\cdot\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{y^2}\right)\).

Ответ: