3) Упростите дробные выражения: а) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}\cdot\frac{x^3+27}{3x-9}$; б) $\frac{1}{5a^2+10ab+20b^2}\cdot(a^3-8b^3)$; в) $\frac{x^2-ax+bx-ab}{x^2+ax-bx-ab}\cdot\frac{x^2+2ax+a^2}{x^2-2bx+b^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) Упростите дробные выражения: а) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}\cdot\frac{x^3+27}{3x-9}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим выражения на множители: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$, $3x-9=3(x-3)$. Сократив общие множители, получаем $\frac{(x-3)^2}{x^2-3x+9}\cdot\frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{3(x-3)}=\frac{(x-3)(x+3)}{3}=\frac{x^2-9}{3}$, где $x\ne3$.
В знаменателе и кубической разности выделяется общий множитель: $5a^2+10ab+20b^2=5(a^2+2ab+4b^2)$, $a^3-8b^3=(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)$. Следовательно, $\frac{a^3-8b^3}{5a^2+10ab+20b^2}=\frac{a-2b}{5}$. Знаменатель исходной дроби не обращается в ноль при действительных $a,b$, поскольку $a^2+2ab+4b^2=(a+b)^2+3b^2$.
Разложим каждый многочлен: $x^2-ax+bx-ab=(x+b)(x-a)$, $x^2+ax-bx-ab=(x-b)(x+a)$, $x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$, $x^2-2bx+b^2=(x-b)^2$. Сокращаем общий множитель $x+a$: $\frac{(x+b)(x-a)}{(x-b)(x+a)}\cdot\frac{(x+a)^2}{(x-b)^2}=\frac{(x+b)(x-a)(x+a)}{(x-b)^3}$, где $x\ne b,-a$.

Ответ: а) $\frac{x^2-9}{3}$; б) $\frac{a-2b}{5}$; в) $\frac{(x+b)(x-a)(x+a)}{(x-b)^3}$.

3) Упростите дробные выражения: а) \(\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}\cdot\frac{x^3+27}{3x-9}\); б) \(\frac{1}{5a^2+10ab+20b^2}\cdot(a^3-8b^3)\); в) \(\frac{x^2-ax+bx-ab}{x^2+ax-bx-ab}\cdot\frac{x^2+2ax+a^2}{x^2-2bx+b^2}\).